粒子系统

PeriDyno中的粒子系统主要用于模拟流体材料。该系统中，流体材料会被离散为粒子。通过计算每个粒子在Navior Stokes 方程作用下的运动，即可实现流体的模拟。现阶段PeriDyno的粒子系统中包含有以下几部分模块：基于SPH的投影法求解器、人工粘性求解器和表面张力求解器，以及PBF（Position Based Fluid）求解器等。以下是粒子系统相关基础理论以及求解器的介绍。

1. 基础理论

流体的Navior Stokes方程的具体形式如下：

$$ \begin{aligned} &\rho\frac{\mathrm{D} \mathbf{v} }{\mathrm{D} t} = - \nabla p + \nabla\cdot \mu (\nabla\mathbf{V}+\nabla\mathbf{V}^T)+\mathbf{F} \end{aligned} $$ （公式1）

其中,$\rho$、$\mathbf{v}$、$p$、$\mu$、$\mathbf{f}$ 分别为流体的密度场、速度场、压强场、粘性系数以及流体所受到的体积力。该方程的本质为的动量守恒定律，其等式右端各项的物理含义分别为流体不可压缩性引起的压强作用、流体的粘性引起的剪切力作用，以及流体所受到的重力、离心力等体积力的作用。

除NS方程外，大多数流体在运动过程中还需要满足不可压缩性性条件，即：

$$ \nabla \cdot \mathbf{V} = \frac{1}{\rho}\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} t} = 0 $$

（公式2）

当流体某位置的不可压缩性条件存在被破坏的趋势时，相应位置上会产生一定的压强以抵抗不可压缩性的破坏。

2. 流体模拟的基本方法

虽然理论上联立Navior Stokes 方程（公式一）和不可压缩性条件（公式二）求解出流体的速度场，即可实现流体运动的模拟。然而直接求解这两个方程是很困难的。为了简化上述量微分方程求解的难度，我们需要采用以下两种技术手段：

  • 粒子离散化。使用携带有质量、压强等物理信息的粒子离散流体连续的物理场和微分算子，进而将上述连续形式的微分方程转化为线性方程组。

  • 算子分裂法。将Navior Stokes方程拆分成三个较小的微分方程，以简化原微分方程求解的难度。

在使用粒子离散化与算子分裂法后，原Navior Stokes方程就被转化为如下三组方程组：

  • 只有体积力项的速度微分方程。 流体粒子在体积力作用下速度的变化。 $$ \frac{\mathbf{v}_i^{n+\frac{1}{3}} - \mathbf{v}_i^{old} }{\delta t} = \mathbf{F}
    $$

  • 只有粘性项的微分方程（流体的粘性）。 不可压缩性作用下的流体速度场变化。 $$ \frac{\mathbf{v}_i^{n+\frac{2}{3}} - \mathbf{v}_i^{n+\frac{1}{3} }}{\delta t} = \nabla_i\cdot \mu (\nabla\mathbf{V}+\nabla\mathbf{V}^T) $$

  • 只有压强项的微分方程（不可压缩性）。 不可压缩性作用下的流体速度场变化。 $$ \frac{\mathbf{v}_i^{new} - \mathbf{v}_i^{n+\frac{2}{3}} }{\delta t} = - \frac{1}{\rho_i} \nabla_i p $$

上式中的$\delta t$为仿真时间步长，$i$为某粒子的编号。其中压强场可以通过流体速度散度误差$\nabla_i\cdot\mathbf{v}$或密度误差$\rho_i-\rho_0$来获得（$\rho_0$为流体的静止密度）。

该系统中包含有以下几种基础方法，即：SPH(Smoothed Particle Hydrodynamics)、PBF（Position Based Fluid）法、投影法（Projection Method）等。

3. SPH（Smoothed Particle Hydrodynamics）离散化方法简介

SPH法是最常被使用的一类粒子法。该方法中任意位置 $\mathbf{x}$ 的物理量都可以通过其邻域粒子（邻近粒子）$j$ 插值计算得到，即： $$ A(\mathbf{x})={\sum_{j,\left |\mathbf{x} -\mathbf{x}_j \right | <h}A_j *W(\left |\mathbf{x} -\mathbf{x}_j \right |,h)} $$ （公式3） 其中$h$为平滑半径（SPH支持域半径），$j$为与点$\mathbf{x}$距离小于$h$的粒子编号，$W(r,h)$为高斯函数或具有类似特性样条函数。如果相对于$h$的粒子间距足够小，则由上述方程重建的物理场$A(\mathbf{x})$是较为平滑的。

基于公式3可以实现密度等物理场以及微分算子的离散化。略去推导过程几种常用的微分算子离散化形式为：

4. 粒子系统的核心求解器

基于算子分裂策略，原Navior Stokes方程的求解过程被划分为了三个独立的求解步骤，其中最重要的求解步骤是不可压缩性求解。不可压缩性是指流体运动中始终保持密度不变的特性，该特性直接地影响了流体的运动。目前PeriDyno中不可压缩性的实现方法有两种，分别为“基于位置约束的方法”和“投影法”。这两部分的算法介绍见4.2.2节和4.2.3节。

除不可压缩性计算之外，粘性求解也是流体模拟的重要步骤。PeriDyno中包含有基于非物理的人工粘性求解器，该求解器可以显著提高低流体的稳定性，也能够模拟大粘性流体运动。这部分的介绍见4.2.3节。

此外，为了更准确地模拟小尺度的不可压缩流体运动，也要考虑流体的表面张力作用。这一部分的介绍请参考4.2.4节。

参引文献

[1] Bridson R. Fluid simulation for computer graphics[M]. AK Peters/CRC Press, 2015. [2] Koschier D, Bender J, Solenthaler B, et al. Smoothed particle hydrodynamics techniques for the physics based simulation of fluids and solids[J]. arXiv preprint arXiv:2009.06944, 2020. [3] Monaghan J J. Smoothed particle hydrodynamics[J]. Annual review of astronomy and astrophysics, 1992, 30: 543-574.